Archive of ‘#Mathematics (Matematik)’ category

Projektif geometri

Projective geometry (sanırım türkçe tasarı geometri olarak geçiyor) geometrinin izdüşümlerle ilgilenen alanı. Eğer kafanızda geometrik bir soru varsa ve bu soru uzunluklardan bağımsız ise muhtemelen cevabını projektif geometri veriyordur: örneğin iki doğrunun paralel olup olmadıklarının, ya da üç boyutta iki düzlemin kesişiminden oluşan doğrunun bi noktadan geçip geçmediği projective geometri ile çözersiniz.

Aşağıda projektif geometrinin aslında niçin önemli olduğundan biraz bahsettim. Okullarda bilim ve matematik öğretimi üzerine makalelerin basıldığı School Science and Mathematics dergisinin 1928 baskısında projective geometrinin liselerde öğretilmesinin gerekliliği savunuluyor, uygulayan ülkeler de var sanırım. 

Ekteki video’da Nima Arkani Hamed’in 11 saatlik konuşması var (tek parça değil elbette ).Konuşmasının 56. dakikasından itibaren 1 saat projektif geometri anlatıyor, çok güzel ve yalın anlatıyor: lise bilgisiyle izleyip anlamak mümkün, vakit bulduğunda herkese tavsiye ederim!

Devamı…

Alman Tank Problemi

İkinci dünya savaşında Almanya’nın Müttefik devletlere karşı askeri başarılarının en önemli sebeplerinden biri tankları kullanma tarzları olmuştu. O zamana kadar piyadelere destek aracı olarak görülen tankları almanlar ayrı tümenler halinde organize etmiş ve düşman hatlarını belirli bir ağırlık merkezinden (Schwerpunkt) yarmak için kullanmışlardı. Batıda yıldırım savaşları (Blitzkrieg) olarak adlandırılan bu askeri stratejiyi Almanya propaganda amacı olarak da kullanmıştı. Konumuz bu olmayacak fakat tarihsel olarak merak eden varsa wiki’de fazlasıyla kaynak ve açıklama var. Blitzkrieg olarak arayınca zaten çıkıyor, bu doktrinin Almanya’daki babası Heinz Guderian, kendisine çöl tilkisi ünvanını kazandıracak kadar bu taktikleri Afrika’da başarıyla uygulayan bir alman savaş kahramanı da Erwin Rommel.

Bizim ilgileneceğimiz noktaysa İngilizlerin Almanların tank üretimini öğrenme çabaları. Yukarıda vurguladığım gibi tanklar çok önemliydi ve İngilizler Almanların ayda kaç tank ürettiğini bilmiyordu. Fakat savaş alanında ellerine geçen tanklarda bir seri numarası olduğunu keşfettiler, ve bu seri numarasından kaç tank olduğunu tahmin etmek istediler.
Devamı…

Alman orta okul hocasının matematik makalesi

Merkatör (1512-1594)’den beri bir çok matematikçi dünyanın nasıl haritalanabileceği, daha geniş bir bakış açısıyla da küreden düzleme nasıl bir projeksiyon yapılabileceğini araştırıyor. Johann Heinrich Lambert, William Thomson, Joseph Liouville, ve Sophus Lie gibi bir çok matematikçinin de üzerinde uğraştığı bu problem önce 2 boyutta Möbius dönüşümlerinin keşfi, daha sonra orthogonal dönüşümlerin (aslında so(n)’i buluyorlar da daha grup teori tam oturmamış) bulunması, sonrasında da konformal grubun araştırılması ile devam ediyor. Günümüzde bu dönüşümler klasik fizikte gayet iyi biliniyor ve kullanılıyor, kuantum fiziğinde de özellikle son 30 yılda baya geliştirildi.

Resmi paylaşmamın sebebiyse başka: Şu yüzyıllardır süregelen süreçte almanyadaki bir ortaokul hocası da kendi katkısını yapmayı başarmış. Öyle ki bu konformal dönüşümler 2 boyutta ve 2 boyutun üzerinde oldukça farklı. 2 boyutta çok daha iyi anlaşılmış durumdalar, hatta tam olarak bu sebeple de sicim teorisinde başarıyla kullanılıyorlar (sicim teorisinde sicimler 2 boyutlu konformal simetrinin olduğu bir çarşafta [worldsheet] yaşarlar). Oysa 3 boyutta ve daha ötesinde konformal dönüşümler oldukça sınırlı (aslında yüksek boyutlu bir orthogonal gruba eşdeğerler), bu ortaokul hocamız da bunu ispatlayan makalelerden birini yazmış!

Niçin Pi’yi 355/113 almalısınız?

Eminim çoğumuz okul hayatının bir döneminde pi sayısının 22/7 olduğunu öğrenmiştir. Şanslıysa pi sayısının asla bu şekilde kesirli bir sayı olarak yazılamayacağını, 22/7 nin sadece güzel bir yakınsama olduğunu da öğrenmiştir 

Üniversite’de dahi bir çok hesapta pi’nin 3 alındığına şahit olmuşsunuzdur, özellikle de göreceli olarak çok fazla sayısal olmayan alanlarda. Hatırlarım ODTÜ Fizik’te asistanlık yaparken biyolojicilerin falan girdiği birinci sınıf fizik derslerinin sınavlarında pi’yi 3 alınız yazdığı için diğer fizikçi arkadaşlarla gülmeden edemezdik 

Peki gülmekte haklı mıydık? Pi’yi 3 almak ne kadar hatalı? Ya pi’yi 22/7 almak ne kadar hatalı? Eğer daha az hatalı bir hesap yapıyorsak 22/7’ye benzer pi’nin kesirli başka gösterimleri var mı?
Devamı…

Palindrom’lar

ÖZET SORU: 3, 5, 10 ve 786435 arasındaki ilişki nedir?
ÖZET CEVAP: Belirli koşullarda en küçük palindromlar bu sayılardır!

Tersten okunuşu kendisine eşit ifadelere genel olarak palindrom deniyor, matematikte de yazılış olarak kendisinin tersi olan sayılar palindrom oluyorlar, örneğin 1221 ya da 23432 palindrom sayılar.

Tabi 10 tabanında çalışmak zorunda değiliz, onluk sistemde palindrom olmayan 15 sayısı 2lik sistemde palindrom oluyor, çünkü 2 tabanında 15’i “1111” olarak yazıyoruz.

Yine 10 tabanında palindrom olmayan 78 sayısı hem 5 hem de 7 tabanında palindrom: 5’lik tabanında 303 diye yazılıyor 7’lik tabanda da 141.

Bu şekilde bir çok tabanda aynı anda palindrom olan sayı bulmak mümkün. Örneğin 242 sayısı 10’lık tabanda palindrom, 7’lik tabanda 464 diye yazılıyor gene palindrom, 3’lük tabanda 22222 diye yazılıyor gene palindrom  Tabi bu açıdan bakarsak 2 sayısı hem 3 tabanında hem 4 tabanında hem 5 tabanında palindrom ama biz havalı sayılarla ilgilendiğimiz için tek haneli palindromları ihmal edelim 
Devamı…

Pisagor Üçlüleri

Üniversite sınavına girmiş herkes 3-4-5 ya da 5-12-13 üçgenleriyle ilgili bir soruyla karşı karşıya gelmiştir. Bu üçgenlerin seçilmesinin asıl sebebi kenar uzunluklarının tam sayı olması sebebiyle işlem kolaylığı olsa da, ikisinin karelerinin toplamının üçüncüsünün karesini verdiği bu üçlüler geometrinin dışında cebirde kendi başlarına ayrı bir yer tutarlar ve bunlara Pisagor üçlüsü denir.

Pisagor üçlüleri ile ilgili çok güzel olduğunu düşündüğüm bir video izledim, bu videoda anlatılanları uygulamalı görebilmek isteyenler için de bir Mathematica kodu yazdım. Kodu ve kodun uygulamasını da videodan izleyebilirsiniz.
Devamı…

Asal Sayı Bilmecesi

SORU:

A basamaklı bir asal sayıdan başlayayım, bu asal sayının bir ucuna (örneğin sağına) rakamlar ekleyerek ne kadar asal sayı elde etmeye devam edebilirim?

Örneğin 84121 ile başlarsam, sağına ekleye ekleye sırayla 841213, 8412139, 84121393, 841213939 diye yazabilirim, bunların hepsi de asal sayı.

Peki rastgele bir asal sayıdan başlayınca ne kadar bunu devam ettirebilirim?

KISA CEVAP:

İlk başladığım asal sayı ne kadar büyükse, o kadar uzun bir asal sayı zinciri yapabilirim. Fakat ilk başladığım asal sayı ne kadar büyük olursa olsun, asal sayı zincirim sonlu olmak zorunda.
Devamı…

1 2