March 2020 archive

Pi sayısını inanılmaz hassasiyetlerde kolayca hesaplamanın yolu: Chudnovsky kardeşlerin algoritması

Algoritma şu:

Algoritmanın sadece ilk terimi bile pi’yi çok yüksek hassasiyette bulmaya yetiyor:

Seri açılımında sonradan gelen terim öncekilere göre üstsel olarak daha küçük olduğu için de sadece 3 5 terim ile bile inanılmaz bir hassasiyet yakalanıyor. Aşağıdaki grafikten de anlayabileceğimiz gibi açılımdaki ilk 10 terimi kullanarak pi’nin yaklaşık ilk 300 rakamını elde edebiliyoruz:

Bu algoritmanin detaylarına şuradan bakabilirsiniz, Chudnovsky kardeşlere de buradan. 2020 yılı itibariyle bu algoritma ile pi’nin 50 trilyon basamağı hesaplanmış durumda.

Bu denklemin bu kadar etkili olmasının arkasında elbette çok daha derin bir sebep var; bu sebepe biz burada girmeyeceğiz ama anahtar kelime olabilecek en büyük Heegner sayısı olan 163. Bu çok özel sayıyla karşılaştığımız bi başka nokta da bir çember üzerindeki 9 nokta arasına çizilen doğru parçalarının daireyi böldükleri parça sayısı; ilginç bir şekilde, çember üzerindeki nokta sayısı ile bu noktalar arasında çizilen doğru parçalarının daireyi böldükleri parça sayısı arasında şöyle bir ilişki var:
Nokta sayısı:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Parça sayısı:1,2,4,8,16,31,57,99,163,256
Niçin böyle olduğu ile ilgili çok güzel bir anlatım için şu videoyu tavsiye ederim.

163 sayısı ile ilgili son bir ilginç bilgi de şu: Heegner sayıları ile neredeyse bir tamsayıya eşit olan üstsel sayılar yazılabiliyor. İngilizce almost integer denilen bu sayıların en büyüğü de 163 ile oluşturuluyor: